（1）由y=ax 2-2ax+c-1=a（x-1） 2+c-1-a得抛物线的顶点为
A（1，c-1-a）．
∵点A在直线y=-
8
3 x+8上，
∴c-1-a=-
8
3 ×1+8，
即c=a+
19
3 ，①
又抛物线与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，
∴α、β是方程ax 2-2ax+c-1=0的两个根．
∴α+β=2，αβ=
c-1
a ，
又α 2+β 2=10，即（α+β） 2-2αβ=10，
∴4-2×
c-1
a =10，
即c=1-3a②，
由①②解得：a=-
4
3 ，c=5，
∴y=-
4
3 x 2+
8
3 x+4，
此时，抛物线与x轴确有两个交点，
答：这个抛物线解析式为：y=-
4
3 x 2+
8
3 x+4．
（2）由抛物线y=-
4
3 x 2+
8
3 x+4，
令x=0，得y=4，故P点坐标为（0，4），
令y=0，解得x 1=-1，x 2=3，
∵α＜β，∴B（-1，0），C（3，0），
∴BC=4，又由OC=3，OP=4，得PC=5，sin∠BCP=
OP
PC =
4
5 ，
∵BH=t，∴HC=4-t．
∵HK ∥ BP，
BH
HC =
PK
KC ，
t
4-t =
PK
5-PK ，
∴PK=
5
4 t
如图，过H作HG⊥PC于G，则HG=HC，
sin∠BCP=（4-t）•
4
5 =
4
5 （4-t），
∴S=
1
2 ×
5
4 t×
4
5 （4-t）=
1
2 t 2+2t，
∵点H在线段BC上且HK ∥ BP，∴0＜t＜4．
∴所求的函数式为：S=-
1
2 t 2+2t（0＜t＜4），
答：将S表示成t的函数为S=-
1
2 t 2+2t（0＜t＜4）．
（3）由S=-
1
2 t 2+2t=-
1
2 （t-2） 2+2（0＜t＜4），知：
当t=2（满足0＜t＜4）时，S取最大值，其值为2，
此时，点H的坐标为（1，0），
∵HK ∥ PB，且H为BC的中点，
∴K为PC的中点，
作KK′⊥HC于K′，
则KK′=
1
2 PO=2，OK′=
1
2 CO=
3
2 ，
∴点K的坐标为（
3
2 ，2），
设所求直线的解析式为y=kx+b，则
0=k+b
2=
3
2 +b ，
∴
k=4
b=-4
故所求的解析式为y=4x-4，
答S的最大值是2，S取最大值时过H、K两点的直线的解析式是y=4x-4．
