定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：对任意x,y属于（-1,1）,

定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：对任意x,y属于（-1,1）,

都有f(x)+f(y)= f （x+y/1+xy）

(1)求证：函数f(x)是奇函数；

（2）若当x属于（-1,1）时,有f(x)>0,求证：

f(x)在（-1,1）上是减函数

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1个回答

1.要证明函数f(x)是奇函数,即证明f(-x)=-f(x)

对f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy)) 其中x,y∈(-1,1)

可令y=-x∈(-1,1)

则f(x)+f(-x)=f((x-x)/(1-x^2))=f(0)

有0∈(-1,1),所以 f(0)+f(0)=f((0+0)/(1+0))=f(0)

即2f(0)=f(0),f(0)=0 所以f(x)+f(-x)=0

f(-x)=-f(x) 所以函数f(x)是奇函数

2.要证明f(x)在(-1,1)是减函数 ,只要证明当x∈(-1,0),f(x)单调递减（因为它是奇函数嘛,关于原点对称的,一变递减,另外一边也一样）,即证明x越大,f(x)越小就可以了

具体：设x1>x2,x1,x2∈(-1,0)

则f(x1)+f(-x2)=f((x1-x2)/(1-x1x2))=-f((x1-x2)/(x1x2-1））

因为x1>x2,则x1-x2>0,又x1,x2∈(-1,0),所以x1x2-1

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