定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y属于（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（[x+y/1+xy]）

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y属于（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（[x+y/1+xy]）．

（1）求证：函数f（x）是奇函数！

（2）若当x属于（-1，0）时，有f（x）＞0．求证：f（x）在（-1，1）上是减函数．

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1个回答

解题思路：（1）令x=y=0，可得f（0）=0．令y=-x，可得f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数．

（2）设-1＜x1＜x2＜1，则有

f(

x

1

)−f(

x

2

) ＝f(

x

1

) +f(−

x

2

) ＝

f(

x

1

−

x

2

)

1−

x

1

x

2

＞0，所以f（x）在（-1，1）上是减函数．

（1）令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0．

令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），

∴函数f（x）是奇函数．

（2）设-1＜x1＜x2＜1，

则有f(x1)−f(x2) ＝f(x1) +f(−x2) ＝

f(x1−x2)

1−x1x2

∵-1＜x1＜x2＜1，∴-1＜x1-x2＜0，

∴f（x1-x2）＞0，0＜x1x2＜1，

∴f（x1）-f（x2）＞0，

∴f（x）在（-1，1）上是减函数．

点评：

本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

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