已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，离心率e＝12，直线y=x+2经过左焦点F1
1个回答
解题思路：（1）由已知可求F1，进而可求c，结合
e＝
c
a
＝
1
2
可求a，最后由b2=a2-c2可求b，即可求解椭圆的方程
（2）当P在椭圆的右顶点时，易得∠F1PF2=0；当P不在椭圆的右顶点时，由定义可知，8=PF1+PF2，利用基本不等式可求
1
P
F
1
•P
F
2
的范围，然后在△F1PF2中，由余弦定理可得可求cos∠F1PF2的取值范围，进而可求角的范围
（1）直线y=x+2与x的交点的坐标为（-2，0），则F1的坐标为（-2，0）．…（2分）
设焦距为2c，则c=2．∵e＝
c
a＝
1
2∴a=4，b2=a2-c2=12．…（5分）
则椭圆的方程为
x2
16+
y2
12＝1．…（6分）
（2）当P在椭圆的右顶点时，∠F1PF2=0（7分）
当P不在椭圆的右顶点时，由定义可知，8=PF1+PF2≥2
PF1•PF2
∴[1
PF1•PF2≥
1/16]当且仅当PF1=PF2时等号成立
△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝
|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2
2|PF1|×|PF2|＝
(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1|×|PF2|−|F1F2|2
2|PF1|×|PF2|（9分）
=
48−2|PF1|×|PF2|
2|PF1|×|PF2|＝
24
|PF1|×|PF2|−1≥
24
16−1＝
1
2，…（13分）
则0＜∠F1PF2≤
π
3；
由上述可得∠F1PF2的取值范围为[0，
π
3]．…（14分）
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
考点点评： 本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，余弦定理在求解三角形中的应用，其中（2）的求解具有一定的综合性
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