解题思路：（Ⅰ）由△MNF2的周长为8，得4a=8，由
e＝
1
2
，得
b
2
a
2
＝
a
2
−
c
2
a
2
＝1−
e
2
＝
3
4
，从而可求得b；
（Ⅱ）分情况进行讨论：由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0），再由A、B在椭圆上可求x0，此时易求点O到直线AB的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，知△＞0，由OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，整理后代入韦达定理即可得m，k关系式，由点到直线的距离公式可求得点O到直线AB的距离，综合两种情况可得结论，注意检验△＞0．
（I）由题意知，4a=8，所以a=2．
因为e＝
1
2，
所以
b2
a2＝
a2−c2
a2＝1−e2＝
3
4，
所以b2=3．
所以椭圆C的方程为
x2
4+
y2
3＝1．
（II）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．
又A，B两点在椭圆C上，
所以
x02
4+
x02
3＝1，x02＝
12
7．
所以点O到直线AB的距离d＝
12
7＝
2
21
7．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由
y＝kx+m
x2
4+
y2
3＝1消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
由已知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
所以x1+x2＝−
8km
3+4k2，x1x2＝
4m2−12
3+4k2．
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0．
所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2＝0．
所以(k2+1)
4m2−12
3+4k2−
8k2m2
3+4k2+m2＝0．
整理得7m2=12（k2+1），满足△＞0．
所以点O到直线AB的距离d＝
|m|
k2+1＝
12
7＝
2
21
7为定值．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的常用知识，要熟练掌握．
