设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（1，[3/2]），F1、F2分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率e
1个回答
解题思路：（1）由椭圆的离心率e=[1/2]，得椭圆方程为
x
2
4
c
2
+
y
2
3
c
2
＝1
，把点（1，[3/2]）代入，能求出椭圆的方程．
（2）设直线l为y=k（x-1），代入椭圆方程
x
2
4
+
y
2
3
＝1
，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线MN的方程．
（1）∵椭圆C：
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0）过点（1，[3/2]），
F1、F2分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率e=[1/2]，
∴[c/a＝
1
2]，∴a=2c，∴b2=a2-c2=3c2，
∴椭圆方程为
x2
4c2+
y2
3c2＝1．…（2分）
把点（1，[3/2]）代入椭圆，得[1
4c2+
(
3/2)
3c2＝1，解得c2=1．
∴椭圆的方程为
x2
4+
y2
3＝1．…（4分）
（2）若直线l斜率不存在，k1 +k2＝0不合题意，
∴直线l的斜率存在．…（5分）
设直线l为y=k（x-1），代入椭圆方程
x2
4+
y2
3＝1，
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．…（7分）
依题意△=9k2+9＞0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝
2k2
3+4k2]，x1x2＝
4k2−12
3+4k2．…（8分）
∵k1+k2=-3，
∴k1+k2=
y1
x1+
y2
x2=k（
x1−1
x1+
x2−1
x2）
=k（2-
x1+x2
x1x2）
=k（2-
2k2
k2−3）=-3．…（10分）
整理，得k2-2k-3=0，解得k=3或k=-1．
∴所求直线MN的方程为3x-y-3=0或x+y-1=0．…（12分）
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．
相关问题
