证明根号2为无理数.
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证明：假设√2不是无理数,而是有理数.

既然√2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q

又由于p和q没有公因数可以约去,所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式.

把 √2=p/q 两边平方

得 2=(p^2)/(q^2) 即 2(q^2)=p^2

由于2q^2是偶数,p 必定为偶数,设p=2m

由 2(q^2)=4(m^2)

得 q^2=2m^2

同理q必然也为偶数,设q=2n

既然p和q都是偶数,他们必定有公因数2,这与前面假设p/q是最简分数矛盾.这个矛盾是由假设√2是有理数引起的.因此√2是无理数.

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