如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E， - 已解决

如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且AB+BC=2BE．

（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°；

（2）若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换，结论还成立吗？请说明理由．

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解题思路：（1）首先过D作DF⊥BA，垂足为F，再根据条件AB+BC=2BE可得AB+EC=BE，再证明Rt△BFD≌Rt△BED，可得FB=BE，即AB+AF=BE，进而得到AF=EC，然后再证明△AFD≌△CED可得∠DCE=∠FAD，再根据∠BAD+∠FAD=180°，可得∠BAD+∠BCD=180°；

（2）过D作DF⊥BA，垂足为F，首先证明∠DCE=∠FAD，再证明△AFD≌△CED，可得AF=EC，然后证明Rt△BFD≌Rt△BED可得FB=BE，再根据线段的和差关系可得AB+BC=2BE．

（1）证明：过D作DF⊥BA，垂足为F，

∵AB+BC=2BE，

∴AB=BE+BE-BC，

AB=BE+BE-BE-EC，

AB=BE-EC，

AB+EC=BE，

∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，

∴DF=DE，

在Rt△BFD和Rt△BED中

DB=DB

DF=DE，

∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），

∴FB=BE，

∴AB+AF=BE，

又∵AB+EC=BE，

∴AF=EC，

在△AFD和△CED中

AF=EC

∠DFA=∠DEC=90°

DF=DE，

∴△AFD≌△CED（SAS），

∴∠DCE=∠FAD，

∵∠BAD+∠FAD=180°，

∴∠BAD+∠BCD=180°；

（2）可以互换，结论仍然成立．理由如下：

过D作DF⊥BA，垂足为F，

∵∠BAD+∠FAD=180°，∠BAD+∠BCD=180°

∴∠DCE=∠FAD，

∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，

∴DF=DE，

在△AFD和△CED中

DF=DE

∠FAD=∠ECD

∠DFA=∠DEC=90°，

∴△AFD≌△CED（AAS），

∴AF=EC，

在Rt△BFD和Rt△BED中

DB=DB

DF=DE，

∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），

∴FB=BE，

∴AB+AF=BE，

AB=BE-AF=BE-EC=BE-（BC-BE）=BE-BC+BE=2BE-BC，

即：AB+BC=2BE．

点评：

本题考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握角平分线上的点到线段两端点的距离相等．

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