证明：（1）易知,当n=1时,命题显然成立.（2）假设当n=k（k为正整数且k>1）时命题成立,即有1^3+2^3+...+k^3=[k(k+1)/2]^2.两边同加(1+k)^3.===>1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=[k(k+1)/2]^2+(1+k)^3=[(k+1)/2]^2*(k^2+4k+4)=[(k+1)/2]^2*(k+2)^2=[(k+1)(k+2)/2]^2.即当n=k+1时命题仍然成立.===》原命题对任意正整数n均成立.【第2部分可用等差数列求和公式证】.
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