已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．
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（1）当a=1时f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x =

x-1

x ．

所以当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．

所以f（x）的极小值为f（1）=1．

（2）若对任意x 1∈（0，e]，存在x 2∈[1，2]，使f（x 1）≥g（x 2），等价于f（x 1） min≥g（x 2） min．

由（1）知当x 1∈（0，e]时，f（x 1）有极小值为1，即当x 1∈（0，e]时，f（x 1） min=1，

因为g（x）=x 2-x+3b 2-2b的对称轴为x=

1

2 ，

所以g（x）=x 2-x+3b 2-2b在x 2∈[1，2]上单调递增，其最小值为g（1）=3b 2-2b，

所以有3b 2-2b≤1，解得-

1

3 ≤b≤1．

故b的取值范围为[ -

1

3 ，1 ]．

（3）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，f′（x）=a-

1

x =

ax-1

x ．

①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x） min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e （舍去），所以，此时f（x）无最小值．

②当0＜

1

a ＜e时，f（x）在（0，

1

a ）上单调递减，在（

1

a ，e]上单调递增， f(x ) min =f(

1

a ) =1+lna=3，a=e 2，满足条件．

③当

1

a ≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x） min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e （舍去），

所以，此时f（x）无最小值．

综上，存在实数a=e 2，使得当x∈（0，e]时f（x）有最小值3．

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