解题思路：（1）由函数f（x）=x2+1，通过an+1=f（an），依次求解a2，a3，a4．
（2）假设存在实数m，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列；由（1）得到a2=f（0）=m，a3=f（m）=m2+m，
a4=f（a3）=（m2+m）2+m．由a2，a3，a4成等差数列，利用等差中项可有2a3=a2+a4，即2（m2+m）=m+（m2+m）2+m，求解然后验证即可．
（3）由
a
n+1
−
a
n
＝
a
n
2
+m−
a
n
＝
(
a
n
−
1
2
)
2
+(m−
[1/4)≥m−
1
4]＞
m−
1
4
又
m＞
1
4
，所以令
d＝m−
1
4
＞0
，
再由累加法可有an-a1≥（n-1）d，即an≥（n-1）d，因此只需取正整数
k＞
2010
d
+1
，就使得ak大于2010．
（1）m=1，f（x）=x2+1
因为a1=0，所以a2=f（0）=1，
a3=f（1）=12+1=2，
a4=f（a3）=（2）2+1=5．（4分）
（2）假设存在实数m，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．
由（1）得到a2=f（0）=m，a3=f（m）=m2+m，a4=f（a3）=（m2+m）2+m．
因为a2，a3，a4成等差数列，
所以2a3=a2+a4，（6分）
所以，2（m2+m）=m+（m2+m）2+m，
化简得m2+（m2+2m-1）=0，
解得m=0（舍），m=-1±
2．（8分）
经检验，此时a2，a3，a4的公差不为0，
所以存在m=-1±
2，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列（9分）
（3）因为an+1−an＝an2+m−an＝(an−
1
2)2+(m−[1/4)≥m−
1
4]，
又m＞[1/4]，所以令d=m-[1/4]＞0．
由an-an-1≥d，
an-1-an-2≥d，
…
a2-a1≥d
将上述不等式全部相加得an-a1≥（n-1）d，即an≥（n-1）d，
因此只需取正整数k＞[2010/d]+1，就有ak≥(k−1)d＞d•(
2010
d)＝2010．（14分）
点评：
本题考点： 数列与函数的综合．
考点点评： 本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了数列的性质及累加法求通项，同时还考查存在性和数列不等式的证明，属于难题．
1年前
4
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