（2010•汕头模拟）已知已知函数f(x)＝x2x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）．
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解题思路：本题考查了函数和数列的关系、等差数列的证明、数列的求和等知识点．
（Ⅰ）根据所给函数
f(x)＝
x
2x+1
及数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）即可获得{an}的递推关系，然后通过推出
1
a
n+1
−
1
a
n
＝2
得到证明．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上易得anan+1=
1
(2n−1)(2n+1)
，由此不难想到“裂项法”求和．
（Ⅰ）由已知得，an+1＝
an
2an+1，
∴[1
an+1＝
1
an+2，即
1
an+1−
1
an＝2．
∴数列{
1
an}是首项，公差d=2的等差数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
an＝1+(n−1)×2＝2n−1，
∴an＝
1/2n−1(n∈N*)，（8分）
∴anan+1＝
1
(2n−1)(2n+1)＝
1
2(
1
2n−1−
1
2n+1)，（10分）
∴Sn=a1a2+a2a3++anan+1=
1
1×3+
1
3×5++
1
(2n−1)(2n+1)]
=[1/2[(1−
1
3)+(
1
3−
1
5)++(
1
2n−1−
1
2n+1)]=
1
2(1−
1
2n+1)＝
n
2n+1]．（14分）
∴2Sn−1＝
2n
2n+1−1＝
−1
2n+1＜0（n∈N*），∴2Sn＜1．（16分）
点评：
本题考点： 等差关系的确定；数列的求和．
考点点评： 本题综合性较强，涉及了多个知识点的融合，揭示了函数和数列的内在联系，并且在构造数列，证明等差数列，裂项求和等方面设计了很好的情景，是一个培养逻辑推理能力和思维能力的好题，而且也代表了目前高考试题的方向．
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