已知函数f(x)=√x(x>0),数列An Bn分别满足An+1=f(An),A1>0 Bn=lgAn n属于正整数 B
1个回答
由题意知：a(n+1)=f(an)=√an=an^(1/2)
即：a(n+1)=an^(1/2)
两边取对数：lg[a(n+1)]=(1/2)*[lg(an)]
则：lg[a(n+1)]/[lg(an)]=1/2
那么：数列{lg(an)}是公比为1/2的等比数列
lg(an)=[lg(a1)]*(1/2)^(n-1)
又因为：bn=lg(an)且b1=1/2
则：b1=lg(a1)=1/2
得：a1=e^(1/2)
所以：lg(an)=[lg(a1)]*(1/2)^(n-1)=(1/2)*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n
即：lg(an)=(1/2)^n=bn
则：an=e^[(1/2)^n]
因此：an=e^[(1/2)^n],bn=(1/2)^n
由题意得：cn=n*bn=n*[(1/2)^n]
则：Sn=1*[(1/2)^1]+2*[(1/2)^2]+3*[(1/2)^3]+.+n*[(1/2)^n] ①
两边同乘以1/2,得：
(1/2)Sn=1*[(1/2)^2]+2*[(1/2)^3]+3*[(1/2)^4]+.+(n-1)*[(1/2)^n]+n*[(1/2)^(n+1)] ②
①-②得：(1/2)Sn=(1/2)^1+(1/2)^2+(1/2)^3+.+(1/2)^n-n*[(1/2)^(n+1)]
=[1-(1/2)^n]-n*[(1/2)^(n+1)]
两边同乘以2,得：
Sn=2-(n+2)*[(1/2)^n]
相关问题
