设数列{an}前n项和为Sn，已知a1=a（a≠4），an+1=2Sn+4n（n∈N*）
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解题思路：（Ⅰ）依题意得：Sn+1-Sn=an+1=2Sn+4n，化简利用等比数列的定义，可证数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）确定Sn，再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若an+1≥an（n∈N*）成立，作差，构建函数，利用函数的单调性，即可求实数a取值范围．
（Ⅰ）证明：依题意得：Sn+1-Sn=an+1=2Sn+4n，即Sn+1=3Sn+4n，
由此得Sn+1−4n+1=3（Sn−4n）即bn+1=3bn，…（2分）
∴数列{bn}是公比为3的等比数列．…（3分）
（Ⅱ）∵bn＝Sn−4n＝(a−4)•3n−1，
∴Sn＝4n+(a−4)•3n−1，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3×4n-1+2（a-4）•3n-2，…（6分）
n=1时，a1=1
∴an＝
3×4n−1+2(a−4)•3n−2
a，n＝1…（7分）
（Ⅲ）∵an+1=3×4n+2（a-4）•3n-1，
∴an+1-an=4•3n-2[9•(
4
3)n−2+a−4]≥0
设f（n）=9•(
4
3)n−2+a−4，则f（n）≥0，…（9分）
∵当n≥2时，f（n）是递增数列，∴f（n）的最小值为f（2）=a+5…（10分）
∴当n≥2时an+1-an≥0恒成立，等价于a+5≥0，即a≥-5…（11分）
又a2≥a1等价于2a1+4≥a1，即a≥-4．…（13分）
综上，所求的a的取值范围是[-4，4）∪（4，+∞）．…（14分）
点评：
本题考点： 数列递推式；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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