设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,2Snn=an+1−13n2−n−23,n∈N*.
1个回答

解题思路:(Ⅰ) 利用条件变形,再写一式,两式相减,即可求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)分类,放缩,再裂项求和,即可证明结论.

(Ⅰ)∵

2Sn

n=an+1−

1

3n2−n−

2

3,n∈N*

∴2Sn=nan+1−

1

3n3−n2−

2

3n=nan+1−

n(n+1)(n+2)

3①

∴当n≥2时,2Sn=1=(n−1)an−

(n−1)n(n+1)

3②

由①-②,得 2Sn-2Sn-1=nan+1-(n-1)an-n(n+1),

∵2an=2Sn-2Sn-1

∴2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1),

an+1

n+1−

an

n=1,

∴数列{

an

n}是以首项为

a1

1=1,公差为1的等差数列.

an

n=1+1×(n−1)=n,

∴an=n2(n≥2).

当n=1时,上式显然成立.

∴an=n2,n∈N*;

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,an=n2,n∈N*

①当n=1时,[1

a1=1<

7/4],∴原不等式成立.

②当n=2时,[1

a1+

1

a2=1+

1/4<

7

4],∴原不等式亦成立.

③当n≥3时,∵n2>(n-1)•(n+1),∴[1

n2<

1

(n−1)•(n+1)

1

a1+

1

a2+…+

1

an=

1

12+

1

22+…+

1

n2<1+

1/1×3+

1

2×4+…+

1

(n−2)•n+

1

(n−1)•(n+1)]

=1+

1

2(

1

1−

1

3)+

1

2(

1

2−

1

4)+

1

2(

1

3−

1

5)+…+

1

2(

1

n−2−

1

n)+

1

2(

1

n−1−

1

n+1)

=1+

1

2(

1

1−

1

3+

1

2−

1

4+

1

3−

1

5+…+

1

n−2−

1

n+

1

n−1−

1

n+1)

=1+

1

2(

1

1+

1

2−

1

n−

1

n+1)=

7

4+

1

2(−

1

n−

1

n+1)<

7

4,

∴当n≥3时,∴原不等式亦成立.

综上,对一切正整数n,有[1

a1+

1

a2+…+

1

an<

7/4].

点评:

本题考点: 数列与不等式的综合.

考点点评: 本题考查数列与不等式的综合,考查数列的通项与求和,考查裂项法,考查学生分析解决问题的能力,有难度.