解题思路:(Ⅰ) 利用条件变形,再写一式,两式相减,即可求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)分类,放缩,再裂项求和,即可证明结论.
(Ⅰ)∵
2Sn
n=an+1−
1
3n2−n−
2
3,n∈N*.
∴2Sn=nan+1−
1
3n3−n2−
2
3n=nan+1−
n(n+1)(n+2)
3①
∴当n≥2时,2Sn=1=(n−1)an−
(n−1)n(n+1)
3②
由①-②,得 2Sn-2Sn-1=nan+1-(n-1)an-n(n+1),
∵2an=2Sn-2Sn-1,
∴2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1),
∴
an+1
n+1−
an
n=1,
∴数列{
an
n}是以首项为
a1
1=1,公差为1的等差数列.
∴
an
n=1+1×(n−1)=n,
∴an=n2(n≥2).
当n=1时,上式显然成立.
∴an=n2,n∈N*;
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,an=n2,n∈N*
①当n=1时,[1
a1=1<
7/4],∴原不等式成立.
②当n=2时,[1
a1+
1
a2=1+
1/4<
7
4],∴原不等式亦成立.
③当n≥3时,∵n2>(n-1)•(n+1),∴[1
n2<
1
(n−1)•(n+1)
∴
1
a1+
1
a2+…+
1
an=
1
12+
1
22+…+
1
n2<1+
1/1×3+
1
2×4+…+
1
(n−2)•n+
1
(n−1)•(n+1)]
=1+
1
2(
1
1−
1
3)+
1
2(
1
2−
1
4)+
1
2(
1
3−
1
5)+…+
1
2(
1
n−2−
1
n)+
1
2(
1
n−1−
1
n+1)
=1+
1
2(
1
1−
1
3+
1
2−
1
4+
1
3−
1
5+…+
1
n−2−
1
n+
1
n−1−
1
n+1)
=1+
1
2(
1
1+
1
2−
1
n−
1
n+1)=
7
4+
1
2(−
1
n−
1
n+1)<
7
4,
∴当n≥3时,∴原不等式亦成立.
综上,对一切正整数n,有[1
a1+
1
a2+…+
1
an<
7/4].
点评:
本题考点: 数列与不等式的综合.
考点点评: 本题考查数列与不等式的综合,考查数列的通项与求和,考查裂项法,考查学生分析解决问题的能力,有难度.