设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=Snn+2（n-1）（n∈N*）．
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解题思路：（1）利用n≥2时，an=Sn-Sn-1，即可得到关于an与an-1的递推式，据递推式的特点可判断数列为等差数列，从而可得答案；
（2）利用裂项相消法即可求得Tn的表达式，由表达式的特点及其单调性可证；
（3）由（1）可表示出
S
n
n
，进而求得S1+
S
2
2
+
S
3
3
+…+
S
n
n
-（n-1）2，令其等于2011，看关于正整数n的方程是否有解即可；
（1）证明：由an=
Sn
n+2（n-1），得Sn=nan-2n（n-1）（n∈N*）．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1），即an-an-1=4，
∴数列{an}是以a1=1为首项，4为公差的等差数列．
于是，an=4n-3，Sn═2n2-n（n∈N*）．
（2）证明：∵[1
anan+1＝
1
(4n−3)(4n+1)=
1/4(
1
4n−3−
1
4n+1)，
∴Tn=
1
a1a2]+[1
a2a3+…+
1
anan+1=
1/4][（1-[1/5]）+（[1/5]-[1/9]）+（[1/9]-[1/13]）+…+（[1/4n−3]-[1/4n+1]）]=[1/4]（1-[1/4n+1]）＜[1/4]，
又易知Tn单调递增，
故Tn≥T1=[1
a1a2=
1/5]，
所以[1/5]≤Tn＜[1/4]．
（3）由Sn=nan-2n（n-1），得
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差关系的确定．
考点点评： 本题考查数列的递推公式、等差数列的确定及数列与不等式的综合，考查数列求和方法，考查学生分析问题解决问题的能力，属难题，具有一定综合性．
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