设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1，an+1=3Sn+1，n∈N*．
1个回答
解题思路：（Ⅰ）由已知分别令n=1，2，代入即可求a2，a3，由an+1=3Sn+1，及当n≥2时，an=3Sn-1+1．两式相减，结合等比数列的通项公式即可求解通项
（Ⅱ）利用错位相减求和的方法即可求Tn；
（Ⅲ） 由已知利用叠加法及对数的运算性质、等差数列的求和公式可求bn，
（Ⅰ）由已知得，a2=4，a3=16．…（2分）
由题意，an+1=3Sn+1，则当n≥2时，an=3Sn-1+1．
两式相减，得an+1=4an（n≥2）．…（3分）
又因为a1=1，a2=4，
a 2
a1＝4，
所以数列{an}是以首项为1，公比为4的等比数列，
所以数列{an}的通项公式是an＝4n−1（n∈N*）．…（5分）
（Ⅱ）因为Tn＝a1+2a2+3a3+…+nan＝1+2×4+3×42+…+n•4n−1，
所以4Tn＝4×1+2×42+3×43+…+(n−1)•4n−1+n•4n，…（6分）
两式相减得，−3Tn＝1+4+42+…+4n−1−n•4n＝
1−4n
1−4−n•4n，…（8分）
整理得，Tn＝
3n−1
9•4n+
1
9（n∈N*）．…（9分）
（Ⅲ） 当n≥2时，依题意得b2-b1=log2a2，b3-b2=log2a3，…，bn-bn-1=log2an．
相加得，bn-b1=log2a2+log2a3+…+log2an．…（12分）
依题意log2an＝log24n−1＝2(n−1)．
因为b1=0，所以bn=2[1+2+…+（n-1）]=n（n-1）（n≥2）．
显然当b1=0时，符合．
所以bn=n（n-1）（n∈N*）．…（14分）
点评：
本题考点： 数列的求和；数列递推式．
考点点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，错位相减求和方法的应用及对数运算性质的综合的应用．
相关问题
