（2009•湖北模拟）已知数列{an}满足：a1=5，且an+1＝−2an+5×3n．
1个回答
解题思路：（1）根据递推公式利用“
a
n
−
3
n
”表示“
a
n+1
−
3
n+1
”，根据等比数列的定义证明数列{an-3n}是等比数列，求出此数列的通项公式再求出an；
（2）由（1）和条件求出bn，代入|b1|+|b2|+…+|bn|化简后，利用错位相减法求出式子的和，再求出和式的范围，再由恒成立求出m的范围．
（1）∵an+1＝−2an+5×3n，
∴an+1−3n+1＝−2(an−3n)，
∴{an-3n}是以首项为a1-3=2，公比为-2的等比数列，
∴an-3n=2•（-2）n-1，
则an=3n+2•（-2）n-1=3n-（-2）n，
（2）由3nbn=n•（3n-an）=n•[3n-3n+（-2）n]=n•（-2）n，
得bn=n•（-[2/3]）n，
令Sn＝|b1|+|b2|+…+|bn|＝
2
3+2×(
2
3)2+3×(
2
3)3+…+n×(
2
3)n①
∴
2
3Sn＝(
2
3)2+2 • (
2
3)3+…+(n−1)×(
2
3)n+n×(
2
3)n+1②
①-②得，
1
3Sn＝
2
3+ (
2
3)2+…+(
2
3)n−n(
2
3)n+1=2[1−(
2
3)n]−n • (
2
3)n+1
∴Sn＝6[1−(
2
3)n]−3n(
2
3)n+1＜6
∵|b1|+|b2|+…+|bn|＜m对于n∈N*恒成立，
∴m≥6．
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查了递推公式的灵活应用，等比数列的证明方法，以及错位相减法求数列的和，数列与不等式结合问题．
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