已知A、B、C是抛物线Y^2=4X上的点,B(4,y),F是焦点,且2BF=AF+CF.证明线段AC的垂直平分线比过定点
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已知A、B、C是抛物线Y^2=4X上的点,B(4,y),F是焦点,且2BF=AF+CF
2P=4,p=2,焦点为(1,0)
2BF=2(xb+p/2)=10=AF+CF=xa+p/2+xc+p/2=xa+xc+2
xa+xc=8
垂直平分线过AC中点,中点横坐标为(xa+xc)/2=4
预设该定点存在,由于抛物线关于x轴对称,所以该定点纵坐标只可能为0,
设该点为(n,0),中垂线斜率为k,如果n存在,n不随k取值有定解.
中垂线直线方程为y=k(x-n)
x=4时,y=k(4-n),即为AC中点坐标.
过该点做垂线,得垂线方程为y=-(x-4)/k+k(4-n),即AC直线方程
联立抛物线方程得：
(-x+4+4k^2-nk^2)^2/k^2=4x
整理得：x^2-2(6k^2-nk^2+4)x+(4k^2-nk^2+4)^2=0
x1+x2=2(6k^2-nk^2+4)=8
即：k^2(n-6)=0
解得n=6
所以中垂线过定点(6,0).
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