已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆C的右焦点，且C的离心率e=[1/2]，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的
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解题思路：（I）根据题意可得椭圆的半焦距c=1，结合椭圆的离心率与椭圆中a、b与c的关系可得椭圆的方程．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），N（x3，y3），并且设椭圆在N出的切线斜率为K′，联立直线与椭圆的方程结合根与系数的关系可得KAB＝−3x04y0，因为由题意可得，N点在椭圆的下半部分，所以由x24+y23＝1可得y=-1212−3x2(y＜0)，利用导数求出在N点的切线的斜率k′＝−3x34y3，由M、O、N三点共线，则有x3y3＝x0y0，所以KAB=K′，进而即可证明结论正确．
（I）设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2＝1，
因为抛物线y2=4x的焦点为（1，0），
所以半焦距c=1．
又离心率e＝
1
2，
∴a=2，∴b2=a2-c2=3
∴椭圆方程为
x2
4+
y2
3＝1
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），N（x3，y3），并且设椭圆在N出的切线斜率为K′，
则
x2
4+
y2
3＝1(1)
x22
4+
y22
3＝1(2)，
(1)−(2)整理得：
x1+x2
4+
y1+y2
3•
y1−y2
x1−x2＝0，
即有KAB＝−
3x0
4y0(由已知得y0≠0)．
因为由题意可得，N点在椭圆的下半部分，
所以由
x2
4+
y2
3＝1可得y=-
1
2
12−3x2(y＜0)
所以y′＝−
1
2
−6x
12−3x2＝−
3x
4y，
所以k′＝−
3x3
4y3，
又因为M、O、N三点共线，则有
x3
y3＝
x0
y0，所以KAB=K′，
即椭圆C在点N处的切线与AB平行．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．
考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆中相关数值的相互关系，以及当椭圆与直线相交时的弦中点问题，并且熟练掌握导数的几何意义．
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