如图,如图,边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处,点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,点E是OA边上的点(不与点
2个回答

(1)本问有以下两种证法:

证法一:

在线段OC上截取ON=3

∵点E坐标为(3,0)

∴OE = ON = 3 而正方形OABC的边长为5

∴ CN = EA = 2

∵OE = ON ,OE ⊥ ON

∴△NOE 为等腰直角三角形

∴∠ONE = 45°

∴∠CNE = 180° -- ∠ONE

= 180° -- 45°

= 135° ------------------------------ ①

∵AG 是正方形外角平分线

∴∠BAP = 45°

∴∠EAP = 90° + 45° = 135° ----------------------------- ②

由① ② 知:∠CNE = ∠EAP

∵EF⊥CE

∴∠CEF = 90°

∴ ∠PEA + ∠CEO = 90°

而∠ECN + ∠CEO = 90°

∴∠ECN = ∠PEA

在 △ECN 和 △PEA 中,

∠ECN = ∠PEA (已证)

CN = EA(已证)

∠CNE = ∠EAP (已证)

∴△ECN ≌ △PEA (ASA)

∴CE=EP

证法二:

过点P 作 PQ ⊥ x 轴 于点Q.

∵AG 是正方形外角平分线

∴∠PAQ = 45°

∴△PAQ 是等腰直角三角形.设AQ = PQ = a

∵EF⊥CE

∴∠CEF = 90°

∴ ∠PEQ + ∠CEO = 90°

而∠ECO + ∠CEO = 90°

∴∠ECO = ∠PEQ

在 Rt△ECO 和 Rt△PEQ 中,

∠ECO = ∠PEQ(已证)

∠EOC = ∠PQE = 90°

∴Rt△ECO ∽ Rt△PEQ

∴OE :QP = CO :EQ

∴ 3 :a = 5 :(2 + a)

∴ 3 ×(2 + a)= 5a

∴6 + 3a = 5a

∴ a = 3

则 PQ = 3,

EQ = EA + AQ = 2+3 = 5

∴PQ = EO = 3 且 EQ = CO = 5

在 Rt△PQE 和 Rt△EOC 中

PQ = EO

∠Q = ∠O

EQ = CO

∴Rt△PQE 和 Rt△EOC (SAS)

∴PE = EC

(2)将上述条件“点E坐标(3,0)时”

改为“点E坐标为(t,0)(t>0)”

结论CE=EP是否仍然成立,理由如下:

仿照(1)问 的证法一,截取、证全等即可.

本问延伸:题干中说“E是OA边上的点”

事实上,当点E “跑到”OA的延长线上时,

结论CE=EP是否仍然成立.

(3)在y轴上存在点M,使得四边形BMEP是平行四边形

此时点M的坐标为:(5 -- t ,0).理由如下:

过点B作PE的平行线,交 y 轴于点M.

∵BM ‖ PE,PE ⊥ CE

∴BM ⊥ CE

∴∠CBM + ∠ECB = 90°

而∠OCE + ∠ECB = 90°

∴∠CBM = ∠OCE

在 Rt△CBM 和 Rt△OCE 中

∠CBM = ∠OCE(已证)

CB = OC (均为正方形的边)

∠MCB = ∠EOC = 90°(均为正方形的角)

∴Rt△CBM ≌ Rt△OCE (ASA)

∴BM = CE

而PE = CE (已证)

∴BM = PE

而BM‖PE (已作)

∴BM 与 PE 平行且相等.

∴四边形BMEP是平行四边形

由Rt△CBM ≌ Rt△OCE 得:

CM = OE = t

∴OM = OC -- CM

= 5 -- t

∴ 此时点M的坐标为:(5 -- t ,0).