如图，设F是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，MN为椭圆的长轴，|MN|=8，焦距为2c，对于点P（−a
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解题思路：（Ⅰ）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，得a2c-a=2（a-c），由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）当AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFM=0，满足题意．当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程得（3m2+4）y2-48my+144=0，由kAF+kBF=0，得到∠AFM=∠BFN．故恒有∠AFM=∠BFN．
（Ⅰ）（1）∵线段MN为椭圆的长轴，且|MN|=8，∴a=4
∵|PM|=2|MF|，
∴
a2
c-a=2（a-c）
∴a2-ac=2ac-2c2，
∴2e2-3e+1=0，
解得e=[1/2]或e=1（舍去）
∴c=2，b2=a2-c2=12，
∴椭圆的标准方程为
x2
16+
y2
12=1．
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFM=0，满足题意．
当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得
（3m2+4）y2-48my+144=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2＝
48m
3m2+4，y1y2＝
144
3m2+4，
∴kAF+kBF=
y1
x1+2+
y2
x2+2＝
y1
my1−6+
y2
my2−6=
2my1y2−6(y1+y2)
(my1−6)(my2−6)=
288m
3m2+4−
288m
3m2+4
(my1−6)(my2−6)=0
∴kAF+kBF=0，从而∠AFM=∠BFN综上可知，恒有∠AFM=∠BFN．
点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．
考点点评： 本题考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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