椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,焦距为2,过F 1 作垂直于椭圆长轴的
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椭圆E:
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2,过F 1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过F 1的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF 2B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.
(1)
+
=1 (2)存在，斜率k的取值范围为-
解:(1)依题意
解得a 2=4,b 2=3,
∴椭圆的方程为
+
=1.
(2)①当过F 1的直线AB的斜率不存在时,
不妨取A（-1,
）,B（-1,-
）
则
·
=
,显然∠AF 2B不为钝角.
②直线l的斜率为k,l方程为y=k(x+1),
由
消去y,整理得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0.
∵直线l与椭圆交于两点,
∴Δ=(8k 2) 2-4(3+4k 2)(4k 2-12)=4×36(k 2+1)>0.
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则x 1+x 2=-
,x 1·x 2=
.
=(x 1-1,y 1),
=(x 2-1,y 2).
∵∠AF 2B为钝角,
∴
·
<0.
即(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2<0,
整理得(k 2+1)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1<0.
即(k 2+1)·
-(k 2-1)·
+k 2+1<0,
整理得7k 2<9,
解得-
.
∴存在满足条件的直线l,
其斜率k的取值范围为-
.
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