椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,焦距为2,过F 1 作垂直于椭圆长轴的
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椭圆E:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2,过F 1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若过F 1的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF 2B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.

(1)

+

=1 (2)存在,斜率k的取值范围为-

解:(1)依题意

解得a 2=4,b 2=3,

∴椭圆的方程为

+

=1.

(2)①当过F 1的直线AB的斜率不存在时,

不妨取A(-1,

),B(-1,-

·

=

,显然∠AF 2B不为钝角.

②直线l的斜率为k,l方程为y=k(x+1),

消去y,整理得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0.

∵直线l与椭圆交于两点,

∴Δ=(8k 2) 2-4(3+4k 2)(4k 2-12)=4×36(k 2+1)>0.

设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),

则x 1+x 2=-

,x 1·x 2=

.

=(x 1-1,y 1),

=(x 2-1,y 2).

∵∠AF 2B为钝角,

·

<0.

即(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2<0,

整理得(k 2+1)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1<0.

即(k 2+1)·

-(k 2-1)·

+k 2+1<0,

整理得7k 2<9,

解得-

.

∴存在满足条件的直线l,

其斜率k的取值范围为-

.