如图，F1、F2为椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点，P为椭圆上一点，且位于x轴上方，过点P作x轴的平行
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解题思路：（1）先设P（x0，y0），利用椭圆的几何性质及平行四边形的性质得出P点横坐标的表达式，再结合椭圆的范围得出关于a，c的不等关系，即可求出椭圆的离心率e的取值范围；
（2）①根据椭圆的两种定义方法，构造关于离心率的关系式，即可求出答案；
②先写出以F1A为直径的圆方程，再证B（0，b）满足方程即可．
（1）设P（x0，y0），则M(
a2
c，y0)，
∵|PM|=|F1F2|=2c，
∴
a2
c−x0＝2c⇒x0＝
a2
c−2c，
由−a＜x0＜a⇒−a＜
a2
c−2c＜a⇒
1
2＜e＜1；
（2）①e＝
|PF2|
|PM|＝
2a−|PF1|
|F1F2|＝
2a−|F1F2|
|F1F2|＝
2a−2c
2c，⇒e＝
1
e−1⇒e＝
−1±
5
2，
∵0＜e＜1，∴e＝
−1+
5
2；
②以F1A为直径的圆方程为（x+c）（x-a）+y2=0，
下证B（0，b）满足方程，即-ac+b2=0…（*），
∵e2+e-1=0，
∴c2+ac-a2=0，
∴ac=a2-c2=b2，∴（*）成立，
∴以F1A为直径的圆经过点B．
点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．
考点点评： 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了学生的运算能力．属中档题．
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