已知a＞0，且a≠1，f(logax)＝aa2−1(x−1x)．

已知a＞0，且a≠1，

f(lo

g

a

x)＝

a

a

2

−1

(x−

1

x

)

．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；

（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的集合M．

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解题思路：（1）利用对数函数的性质结合换元法令t=logax，从而推出x=at，导出f（t）后，直接把f（t）中的变量t都换成x就得到f（x）．

（2）求出f（-x），然后把f（-x）和f（x）进行比较，若f（-x）=f（x），则f（x）是奇函数；若f（-x）=-f（x），则f（x）是偶函数；若f（-x）≠±f（x），则f（x）是非奇非偶函数．利用单调函数的定义和性质证明单调性．

（3）结合f（x）的奇偶性与单调性进行求解．y=f（x），（x∈R）既是奇函数又是增函数，故由f（1-m）+f（1-m2）＜0可知f（1-m）＜-f（1-m2），即f（1-m）＜f（m2-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函数求解m的取值范围．

（1）令t=logax（t∈R），

则x=at，f(t)＝

a

a2−1(at−a−t)．

∴f(x)＝

a

a2−1(ax−a−x)（x∈R）．

（2）∵f(−x)＝

a

a2−1(a−x−ax)＝−

a

a2−1(ax−a−x)＝−f(x)，且x∈R，

∴f（x）为奇函数．

当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，y＝(

1

a)x＝a−x是减函数，y=-a-x是增函数．

∴y=ax-a-x为增函数，

又因为[a

a2−1＞0，

∴f(x)＝

a

a2−1(ax−a−x)，（x∈R）是增函数．

当0＜a＜1时，指数函数y=ax是减函数，

y＝(

1/a)x＝a−x是增函数，y=-a-x是减函数．

∴u（x）=ax-a-x为减函数．

又因为

a

a2−1＜0，

∴f(x)＝

a

a2−1(ax−a−x)，（x∈R）是增函数．

综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x），（x∈R）都是增函数．

（3）由（2）可知y=f（x），（x∈R）既是奇函数又是增函数．

∵f（1-m）+f（1-m2）＜0，

∴f（1-m）＜-f（1-m2），

又y=f（x），（x∈R）是奇函数，

∴f（1-m）＜f（m2-1），，

因为函数y=f（x）在（-1，1）上是增函数，

∴-1＜1-m＜m2-1＜1，

解之得：1＜m＜

2]．

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 合理选取函数的性质能够有效地简化运算．

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