已知函数f（logax）=aa2−1(x−x−1)，其中a＞0且a≠1．
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解题思路：（1）根据对数式与相应指数式的关系，由函数f（logax）=
a
a
2
−1
(x−
x
−1
)
，将括号中对应的对数式化为x后，解析式中x要化为ax，求出解析式后，可根据奇偶性的定义及导数法，求出函数的奇偶性和单调性；
（2）根据（1）中函数的性质，及x∈（-1，1）可将不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0，化为-1＜1-m＜1-m2＜1，进而得到实数m的取值范围；
（3）由当x∈（-∞，2）时，f（x）-6的值恒为负数，根据函数的单调性可得f（2）-6≤0整理可得a的取值范围．
（1）由f（logax）=
a
a2−1(x−x−1)，得f(x)＝
a
a2−1(ax−a−x)，…2’
因为定义域为R，
f(−x)＝
a
a2−1(a−x−ax)=-f（x）
所以f（x）为奇函数，…4’
因为f′(x)＝
a•lna
a2−1(ax+a−x)，
当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）为R上的单调增函数；…6’
（2）由f（1-m）+f（1-m2）＜0，得f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1），，
又x∈（-1，1），则-1＜1-m＜1-m2＜1，得1＜m＜
2；…10’
（3）因为f（x）为R上的单调增函数，所以当x∈（0，2）时，f（x）-6的值恒为负数，
所以f（x）-6＜0恒成立，
则f（2）-6=
a
a2−1(a2−a−2)−6≤0，…12’
整理得a2-6a+1≤0，所以3−2
2≤a≤3+2
2，
又a＞0且a≠1，所以实数a的取值范围是[3−2
2，1）∪（1，≤3+2
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题是函数奇偶性与单调性的综合应用，特别是后面抽象不等式及恒成立问题，难度较大．
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