已知函数f（x）满足f（logax）=aa2−1(x−x−1)，a＞0且a≠1
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解题思路：（1）换元法：令t=logax，则x=at，代入函数式可得解析式，利用奇偶函数的定义可判断；
（2）分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，利用指数函数的单调性可作出判断；
（1）令t=logax，则x=at，
则f（t）=
a
a2−1(at−a−t)，
所以f（x）=
a
a2−1(ax−a−x)，
函数定义域为R，且f（-x）=
a
a2−1(a−x−ax)=-f（x），
故f（x）为奇函数；
（2）当a＞1时，a-x递减，-a-x递增，ax递增，所以ax-a-x递增，
又
a
a2−1＞0，所以f（x）在R上递增；
当0＜a＜1时，a-x递增，-a-x递减，且ax递减，所以ax-a-x递减，
又
a
a2−1＜0，故此时f（x）递增；
综上，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上递增．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属中档题．
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