已知f（x）=logax-x+1（a＞0，且a≠1）
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解题思路：（1）利用导数判断函数的单调性即可；

（2）f（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，等价于lna＜[lnx/x−1]在区间（1，2）上恒成立，利用导数求得函数F（x）=[lnx/x−1]的最小值，即可得出结论．

（1）a=e时，f(x)＝lnx−x+1，x∈(0，+∞)，f′(x)＝

1

x−1

令f′(x)＞0，知0＜x＜1，故f(x)的单调增区间为(0，1)；

同理f(x)的单调减区间为(1，+∞)，

（2）∵f(x)＝logax−x+1＝

lnx

lna−x+1，

∴f(x)＞0在(1，2)上恒成立⇔

lnx

lna＞x−1在(1，2)上恒成立

而x∈（1，2）时，lnx＞0，x-1＞0∴0＜a＜1不合题意∴a＞1

∴[lnx/lna＞x−1在(1，2)上恒成立⇔lna＜

lnx

x−1在(1，2)上恒成立令F(x)＝

lnx

x−1，则F′(x)＝

1

x(x−1)−lnx

(x−1)2＝

1−

1

x+ln

1

x

(x−1)2]

由（1）知，当x＞0，f（x）=lnx-x+1＜f（1）=0，

∴x∈(1，2)即

1

x∈(

1

2，1)时，ln

1

x−

1

x+1＜0恒成立，

∴F'（x）＜0恒成立∴F（x）在（1，2）上单调递减，

即F（x）＞F（2）=ln2，∴lna≤ln2，∴a≤2，

综上得a∈（1，2]．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题，考查学生恒成立问题的等价转化能力及运算求解能力，属于中档题．

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