已知a＞0且a≠1，f（logax）=[1a2−1（x-1/x]）．
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解题思路：（1）利用换元法：令t=logax⇒x=at，代入可得f（t）=
1
a
2
−1
(
a
t
−
1
a
t
)
，（t∈R），从而可得函数f（x）的解析式
（2）由（1）得f（x）定义域为R，
f(x)＝
1
a
2
−1
(
a
x
−
1
a
x
)
①先证奇偶性：代入f（-x）=
1
a
2
−1
(
1
a
x
−a
x
)＝−f(x)
，从而可得函数为奇函数
②再证单调性：利用定义任取x1＜x2，利用作差比较f（x1）-f（x2）的正负，从而确当f（x1）与f（x2）的大小，进而判断函数的单调性
（1）令logax=t，则x=at，得f（t）=（at-a-r），（4分）
所以f（x）=
1
a2−1（ax-a-x）（6分）
（2）因为f（x）定义域为R，
又f（-x）=
1
a2−1（a-x-ax）
=-
1
a2−1（ax-a-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数（9分）
任取x1＜x2
则f（x2）-f（x1）=
1
a2−1（ax2−ax1）（1+a−(x1+x2)）（11分）
因为当a＞0且a≠1，恒有f（x2）-f（x1）＞0，
所以f（x）为增函数（13分）
点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断；指数函数的单调性与特殊点．
考点点评： 本题重点考查了函数性质的三点：①利用换元法求函数的解析式，这是求函数解析式中最为重要的方法，要注意掌握，解答此类问题的注意点：换元后要确定新元的范围，从而可得所要求的函数的定义域②函数奇偶性的判断③利用定义判断函数单调性的步骤（i）任设x1＜x2（也可x1＞x2）（ii）作差f（x1）-f（x2）（iii）定号，给出结论．
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