如图，⊙O 1 与⊙O 2 外切于点P，外公切线AB切⊙O 1 于点A，切⊙O 2 于点B，
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（1）证明：如图，连接O 2B，O 1A，则AO 1⊥AB，O 2B⊥AB，所以AO 1∥ O 2B，
过点P作两圆的公切线PF，交于AB于点F，作O 1E⊥AP，O 2D⊥BP．
根据垂径定理，得点E，点D分别是AP，BP的中点．
根据弦切角定理知，∠ABP=∠FPB=
1
2 ∠BO 2P，∠BAP=∠FPA=
1
2 ∠AO 1P．
∵AO 1∥ O 2B，
∴∠AO 1P+∠BO 2P=180°，
∴∠FPB+∠FPA=∠APB=90°，
即AP⊥BP；
（2）证明：∵△APB是直角三角形．
∴∠ABP=∠BO 2D=∠APO 1．
设∠ABP=∠BO 2D=∠APO 1=β，则有sinβ=
BP
2R ，cosβ=
AP
2r ．
∴tanβ=
r
R ?
BP
AP =
r
R ?
1
tanβ ，
∴（tanβ） 2=
AP 2
BP 2 =
r
R ，
∴
AP 2
BP 2 =
r
R ．
（3）∵∠ABP=∠C，
∴tan∠C=tanβ=tan∠ABP=
r
R =
6
3 ．
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