已知圆O1与圆O2外切于P,AB是两圆的外公切线. - 已解决

已知圆O1与圆O2外切于P,AB是两圆的外公切线.A,B为切点.过点P的直线交圆O1于点C,交圆O2于点D.分别

延长CA,DB相交于点E,求证：CE⊥DE

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连接O1A,O2B,O1O2,PA,PB

∵P是两圆的外切点

∴O1,O2,P三点共线

∵AB是两圆的外公切线,A,B为切点,

∴O1A⊥AB,O2B⊥AB,

∴O1A//O2B,即ABO2O1为直角梯形

∴∠AO1P(∠AO1O2)+∠BO2P(∠BO2O1)=180°

∵AB是两圆的外公切线,A,B为切点

∴在圆O1中∠PAB=∠PCA=1/2·∠PO1A,

同理,在圆O2中有∠PDB=∠PBA=1/2·∠PO2B

∴∠PCA+∠PDB即∠DCA+∠CDB即∠DCE+∠CDE=1/2·（∠PO1A+∠PO2B)=90°

∴在三角形CDE中,∠CED=180°-（∠DCE+∠CDE）=90°

∴CE⊥DE

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