如图，⊙O 1 与⊙O 2 外切于点P，AB是两圆外公切线，A、B为切点，AB与O 1 O 2 的延长线交于C点，在AP
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（1）证明：连接PB，OA，OB，
∵AB为公切线
∴∠1=
1
2 ∠O 1，∠2=
1
2 ∠PO 2B
∵O 1A ∥ O 2B
∴∠O 1+∠PO 2B=180°
∴∠1+∠2=90°
∴∠APB=90°
∵
AP
AB =
AC
AE ，∠1=∠1
∴△APB ∽ △ACE
∴∠ACE=∠APB=90°
∴AC⊥EC；
（2）证明：∵BP⊥AE于P
∴∠3+∠4=90°
∵AB为公切线
∴O 2B⊥AB于B
∴∠2+∠5=90°
又∵O 2P=O 2B
∴∠4=∠5
∴∠2=∠3
由（1）知△APB ∽ △ACE
∴∠E=∠2
∴∠3=∠E
∴PC=EC；
（3）作内公切线PH，交AB于H，
∴AH=PH=HB
∴∠APB=90°
∴∠DPB=90°
∴DB为⊙O直径
∴DB⊥AB于B
∴Rt△ABD中，BP为斜边AD上的高
∴PB 2=AP•DP=4×
9
4
∴PB=3
∵∠DBC=∠APB=90°，∠4=∠5
∴∠DBC+∠5=∠APB+∠C
∴∠PBC=∠APC
又∵∠6=∠6
∴△PBC ∽ △APC
∴
BC
PC =
PB
AP =
3
4
又∵PC=EC
∴
BC
EC =
3
4 ．
1年前
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