设数列{an}：a0=2，a1=16，an+2=16an+1-63an，n∈N*，则a2005被64除的余数为（ ）
1个回答
解题思路：将an+2=16an+1-63an化为an+2-7an+1=9an+1-63an，或an+2-9an+1=7an+1-63an，从而根据等比数列的定义可得{an-7an-1}，{an-9an-1}是等比数列，然后求出an的通项公式，用多项式展开后得出结果．
∵an+2=16an+1-63an，
∴an+2-7an+1=9an+1-63an，或an+2-9an+1=7an+1-63an
即an+2-7an+1=9（an+1-7an），或an+2-9an+1=7（an+1-9an），
又∵a0=2，a1=16，
∴{an-7an-1}是首项为2，公比为9的等比数列，
{an-9an-1}是首项为-2，公比为7的等比数列．
∴an+1-7an=2•9n，
an+1-9an=-2•7n．
联立上述两式解得，
an＝9n+7n，
a2005＝92005+72005
=（8+1）2005+（8-1）2005
=2(
C0200582005+
C2200582003+…+8)，
∴上式中除最后一项8之外都是64的倍数，
∴a2005被64除的余数为2×8=16．
故选：C．
点评：
本题考点： 数列递推式．
考点点评： 本题主要考查递推式的转化，等比数列的定义和多项展开式的灵活应用．属于中档题．
相关问题
