数列{an}满足a1=1，an+3=an+3，an+2≥an+2（n∈N*）．
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解题思路：（1）利用已知条件an+3=an+3，求出a4=4，a7=7，再利用条件an+2≥an+2得到a7，a5，a3，a6值．
（2）利用已知条件an+2≥an+2得到数列的递推关系，利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，利用通项公式求出
数列{an}的通项公式an．
（3）先求出通项
1
a
n
2
=
1
n
2
，再将其放缩，然后利用裂项相消的方法证出不等式．
（1）∵a1=1，an+3=an+3，
∴a4=4，a7=7
∵an+2≥an+2
∴a3≥3，a5≥a3+2，a7≥a5+2，
∴a5=5，a3=3，a6=a3+3=6
（2）∵an+3=an+3，an+2≥an+2（n∈N*）
∴an+3≤an+2+1（n∈N*）
∴an+1≤an+1，an+2≤an+1+1
∴an+1+an+2+an+3≤an+an+1+an+2+3，即an+3≤an+3
∴an+1=an+1，an+2=an+1+1，an+3=an+2+1
∴{an}为等差数列，公差d=1．
∴an=n
（3）证明：n=1时，
1
a12=1＜2成立n＞1时，
∵
1
an2=[1
n2＜
1
n(n−1)＝
1/n−1−
1
n]（n＞1）
∴
1
a12+
1
a22+
1
a32+…+
1
an2
＜1+(1−
1
2)+(
1
2−
1
3)+…+(
1
n−1−
1
n)=2−
1
n＜2
∴
1
a12+
1
a22+
1
a32+…+
1
an2＜2
点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．
考点点评： 证明与数列的和有关的不等式时，一般能求和的先求出和，若不能求和，常通过放缩法转化为能求和的数列和的不等式再证明．
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