Only_唯漪的证法我好像没有看懂的样子……果然代数都忘光了,
这里给出一种Jordan标准型的证法参考一下:
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∵R(E+A)+R(E-A)=n
∴不妨设R(E+A)>0,R(E-A)>0(否则有R(E-A)=0或者R(E+A)=0,说明A=E或-E,命题已经成立)
∴|E+A|=|E-A|=0(∵其秩非满)
∴A有特征值-1、1
而n-R(E+A)恰好是特征值-1对应的特征向量维数、n-R(E-A)恰好是1对应的特征向量维数
A的特征向量维数和=n(计重数)
∴A的Jordan标准型就是一块为-1(R(E-A)阶),一块为1(R (E+A)阶)
即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=J
计算一下上式平方,就有A^2=E