数列{an}中，a1=1，an-12=(n−3)a2n+3an−1n−1（n≥2），当n≥2时，an＞a1
1个回答
解题思路：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（2）猜想通项，利用数学归纳法进行证明；
（3）利用等比数列的求和公式，求和即可得到结论．
（1）∵a1=1，an-12=
(n−3)
a2n+3an−1
n−1，
∴a2=1或2
∵当n≥2时，an＞a1，∴a2=2
同理，a3=3，a4=4；
（2）猜想an=n，下面用数学归纳法证明：
①n=1，2，3时，显然成立；
②假设n=k（k≥3）时，结论成立，即ak=k，则
由ak2=
(k−2)
a2k−1+3ak−1−1
k=k2，解得ak+1=k+1或−
k2−k+1
k−2（舍去）
故对n=k+1时也成立
由①②可知an=n；
（3）bn=（[1/2]）an-1=（[1/2]）n-1，
∴Sn=
1−(
1
2)n
1−
1
2=2−
1
2n−1＜2
∵[2n+3/n+1]=2+[1/n+1]＞2
∴Sn＜[2n+3/n+1]
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．
考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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