在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
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解题思路：（Ⅰ）整理题设an+1=4an-3n+1得an+1-（n+1）=4（an-n），进而可推断数列{an-n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可数列{an-n}的通项公式，进而可得{an}的通项公式根据等比和等差数列的求和公式，求得Sn．
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的Sn代入Sn+1-4Sn整理后根据
−
1
2
(3
n
2
+n−4)≤0
证明原式．
（Ⅰ）证明：由题设an+1=4an-3n+1，得an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N*．
又a1-1=1，所以数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an-n=4n-1，于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n．
所以数列{an}的前n项和Sn＝
4n−1
3+
n(n+1)
2．
（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，Sn+1−4Sn＝
4n+1−1
3+
(n+1)(n+2)
2−4(
4n−1
3+
n(n+1)
2)=−
1
2(3n2+n−4)≤0．
所以不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定；等比数列的性质．
考点点评： 本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．
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