（2010•湘潭一模）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角
1个回答
解题思路：（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC∽三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；（2）解法1：利用a+b≥2ab当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最大值即可；解法2：求出S′=0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．
（1）设AN的长为x米（x＞2）
由题意可知：∵
|DN|
|AN|＝
|DC|
|AM|∴[x−2/x＝
3
|AM|]∴|AM|＝
3x
x−2
∴SAMPN＝|AN|•|AM|＝
3x2
x−2
由SAMPN＞32得
3x2
x−2＞32，
∵x＞2
∴3x2-32（x-2），即（3x-8）（x-8）＞0（x＞2）
解得：2＜x＜
8
3或x＞8
即AN长的取值范围是(2，
8
3)∪(8，+∞)
（2）解法一：∵x＞2，
∴SAMPN＝
3x2
x−2＝
3(x−2)2+12(x−2)+12
x−2＝3(x−2)+
12
x−2+12≥2
3(x−2)
12
x−2+12＝24(10分)
当且仅当3(x−2)＝
12
x−2，即x=4时，取“=”号
即AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米．
解法二：∵S＝
3x2
x−2(x＞2)∴S′＝
6x(x−2)−3x2
(x−2)2＝
3x2−12x
(x−2)2＝
3x(x−4)
(x−2)2
令S'=0得x=4
当2＜x＜4时，S'＜0当x＞4时S'＞0
当x=4时，S取极小值，且为最小值．
即AN长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小为24平方米．
点评：
本题考点： 根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．以及用a+b≥2ab当且仅当a=b时取等号的方法求最值的能力．
相关问题
