为迎接国庆60周年，美化城市，某市将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，如图所示．要求B在AM上，D在A
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解题思路：（Ⅰ）设AN的长为x米，则矩形AMPN的面积SAMPN可表示为x的函数，令SAMPN＞32即可求得x的范围．
（Ⅱ）利用导数即可求得当x≥6时函数的最小值及相应的x值．
设AN的长为x米（x＞2）
∵
|DN|
|AN|＝
|DC|
|AM|，∴|AM|＝
3x
x−2
∴SAMPN＝|AN|•|AM|＝
3x2
x−2
（I）由SAMPN＞32得
3x2
x−2＞32，
∵x＞2，∴3x2-32x+64＞0，即（3x-8）（x-8）＞0
∴2＜x＜
8
3或x＞8．
答：要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN长的取值范围是(2，
8
3)∪(8，+∞)．
（Ⅱ）令y＝
3x2
x−2，则y′＝
6x(x−2)−3x2
(x−2)2＝
3x(x−4)
(x−2)2，
当x＞4时，y′＞0，∴函数y=
3x2
x−2在（4，+∞）上单调递增，∴函数y＝
3x2
x−2在[6，+∞)上也单调递增．
∴当x=6时，y＝
3x2
x−2取得最小值27，即SAMPN取得最小值27（平方米）．
此时|AN|=6米，|AM|=4.5米
答：当AM、AN的长度分别是4.5米，6米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积是27平方米．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；根据实际问题选择函数类型．
考点点评： 本题考查了根据实际问题建立数学函数模型、利用导数研究函数单调性及求最值问题．实际问题要注意答．
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