设f(x)=x²+px+q,若不等式If(x)I>2在区间【1,5】上无解,试求所有的实数对.

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要使 |f(x)| > 2 在区间【1,5】上无解,

必须满足 -2 ≤ f(1) ≤ 2 ,-2 ≤ f(5) ≤ 2 ；

-2 ≤ p+q+1 ≤ 2 ,-2 ≤ 5p+q+25 ≤ 2 ,

-3 ≤ p+q ≤ 1 ,-27 ≤ 5p+q ≤ -23 ,

-1 ≤ -p-q ≤ 3 ,

-1-27 ≤ -p-q+5p+q ≤ 3-23 ,

-7 ≤ p ≤ -5 ；

f(x) 的对称轴为 x = -p/2 ,最小值为 f(-p/2) ；

5/2 ≤ -p/2 ≤ 7/2 ,则 f(x) 的对称轴在区间【1,5】内,

要使 |f(x)| > 2 在区间【1,5】上无解,

还要满足 f(-p/2) ≥ -2 ；

q-p²/4 ≥ -2 ,

q ≥ p²/4-2 ；

解不等式组：

-3 ≤ p+q ≤ 1 ,-27 ≤ 5p+q ≤ -23 ,q ≥ p²/4-2 ,

p²/4-2 ≤ q ≤ 1-p ,p²/4-2 ≤ q ≤ -23-5p ,

p²/4-2 ≤ 1-p ,p²/4-2 ≤ -23-5p ,

-6 ≤ p ≤ 2 ,-14 ≤ p ≤ -6 ,

所以,p = -6 ,

代入不等式组,可得：3 ≤ q ≤ 7 ,3 ≤ q ≤ 7 ,q ≥ 7 ,

所以,q = 7 ；

满足题意的实数对（p,q）只有一对：（-6,7）.

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