证明：先证明1/(1+a)²+1/(1+b)²≥1/(1+ab)
即证：[(1+a)²+(1+b)²]/[(1+a)²(1+b)²]≥1/(1+ab)
即证：[(1+a)²+(1+b)²](1+ab)≥[(1+a)²(1+b)²]
即证：(1+a)²+(1+b)²+ab[(1+a)²+(1+b)²]≥[(1+a)²(1+b)²]
即证：ab[(1+a)²+(1+b)²]≥[(1+a)²(1+b)²]-(1+a)²-(1+b)²
即证：ab[(1+a)²+(1+b)²]+1≥[(1+a)²(1+b)²]-(1+a)²-(1+b)²+1
而[(1+a)²(1+b)²]-(1+a)²-(1+b)²+1=[(1+a)²-1][(1+b)²-1]=(a²+2a)(b²+2b)
∴即证：ab[(1+a)²+(1+b)²]+1≥(a²+2a)(b²+2b)
即证：a³b+ab³+2a²b+2ab²+2ab+1≥a²b²+2a²b+2ab²+4ab
即证：a³b+ab³+1≥a²b²+2ab
∵a³b+ab³+1=ab(a²+b²)+1≥2abab+1=2a²b²+1=a²b²+a²b²+1≥a²b²+2ab
∴不等式得证,即1/(1+a)²+1/(1+b)²≥1/(1+ab)成立
接下来证明原不等式：
∵1/(1+a)²+1/(1+b)²≥1/(1+ab)
1/(1+c)²+1/(1+d)²≥1/(1+cd)
∴1/(1+a)²+1/(1+b)²+1/(1+c)²+1/(1+d)²≥1/(1+ab)+1/(1+cd)
而1/(1+ab)+1/(1+cd)=1/(1+ab)+ab/(ab+abcd)=1/(1+ab)+ab/(1+ab)=1
∴1/(1+a)²+1/(1+b)²+1/(1+c)²+1/(1+d)²≥1
∴原不等式得证!
不懂得欢迎追问.
