曲线f(x)=x3+x-3在P0处的切线平行于直线y=4x+1,则P0的坐标为______.
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解题思路:求出原函数的导函数,设出切点坐标,由切点处的导数等于4求出切点的横坐标,代入曲线方程求解切点纵坐标.

由f(x)=x3+x-3,得f′(x)=3x2+1,

设P0(x0,y0),则f′(x0)=3x02+1,

∵曲线f(x)=x3+x-3在P0处的切线平行于直线y=4x+1,

∴3x02+1=4,解得:x0=±1.

当x0=-1时,y0=(−1)3−1−3=−5;

当x0=1时,y0=1+1-3=-1.

∴P0的坐标为(1,-1)或(-1,-5).

故答案为:(-1,-5)或(1,-1).

点评:

本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.

考点点评: 本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程,曲线在某点处的导数,就是过该点的切线的斜率,是中档题.