解题思路：（Ⅰ）由已知条件得
a
n+1
+1＝(
a
n
+1
)
2
，两边取对数，得lg（an+1+1）=2lg（an+1），由此能证明数列{lg（an+1）}是以1为首项，以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
lg(a
n
+1)＝
2
n−1
，从而lgTn=lg（a1+1）+lg（a2+1）+…+lg（an+1），由此求出lgTn=2n-1．
（Ⅲ）由Cn=
2
n
(
2
n
−1)(
2
n+1
−1)
=
1
2
n
−1
−
1
2
n+1
−1
，利用裂项求和法能求出数列{Cn}的前n项和．
（Ⅰ）证明：∵数列{an}中，a1=9，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，
∴an+1＝an2+2an，∴an+1+1＝(an+1)2，
对an+1+1＝(an+1)2两边取对数，得lg（an+1+1）=2lg（an+1），
∵a1=9，∴lg（a1+1）=lg10=1，
∴数列{lg（an+1）}是以1为首项，以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg(an+1)＝2n−1，
Tn=（a1+1）…（an+1），
∴lgTn=lg（a1+1）（a2+1）…（an+1）
=lg（a1+1）+lg（a2+1）+…+lg（an+1）
=20+21+22+…+2n-1
=
1−2n
1−2=2n-1．
（Ⅲ）证明：Cn=
lgTn+1
[lg(an+1+1)−1][lg(an+2+1)−1]
=
2n
(2n−1)(2n+1−1)=[1
2n−1−
1
2n+1−1，
Sn=（
1/2−1−
1
22−1]）+（
1
22−1−
1
23−1）+（
1
23−1−
1
24−1）+…+（
1
2n−1−
1
2n+1−1）
=1-
1
2n+1−1＜1．
∴Sn＜1．
点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列的求和．
考点点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
