已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
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解题思路：（Ⅰ）由题意得an+1=an2+2an，变形得an+1+1=（an+1）2，再两边取对数化简后，由等比数列的定义可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等比数列的通项公式求出1+an的表达式，代入Tn根据指数的运算和等比数列的前n项公式化简；
（Ⅲ）将an+1=an2+2an化简后取倒数得
1
a
n
+2
＝
1
a
n
−
2
a
n+1
，再代入bn=
1
a
n
+
1
a
n
+2
化简，利用前后项相消后求出数列{bn}的前n项和Sn．
证明：（Ⅰ）由题意得an+1=an2+2an，即an+1+1=（an+1）2，
两边取对数得，lg（an+1+1）=2lg（an+1），即
lg(an+1+1)
lg(an+1)＝2，
由a1=2得，lg（a1+1）=lg3，
即数列{lg（1+an）}是公比为2、以lg3为首项的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，lg（1+an）=2n-1lg3=lg32n−1，
所以1+an=32n−1，
所以Tn=（1+a1）•（1+a2）…（1+an）
=320•321•322…32n−1=3
1−2n/1−2]=32n−1，
由1+an=32n−1，得an=32n−1-1；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，an+1=an2+2an=2an（an+2），
所以[1
an+1＝
1/2(
1
an−
1
an+2)，即
1
an+2＝
1
an−
2
an+1]，
又bn=
1
an+
1
an+2，所以bn=2(
1
an−
1
an+1)，
所以Sn=b1+b2+…+bn=2[（
1
a1−
点评：
本题考点： 数列的求和；数列递推式．
考点点评： 本题考查等比数列的定义，前n项公式，裂项相消法求数列的和，以及指数、对数的运算等，属于中档题．
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