椭圆的一个焦点为F,点P在y轴上,直线PF交椭圆于M,且M是直线PF的中点,求离心率
1个回答
1).如果焦点在y轴上,则现有的条件解不出来.
2)焦点在x轴上的话,设椭圆方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 =1,令F坐标(c,0),其中c^2=a^2-b^2
根据题意,在直角三角形PFO中,PM=FM,则有MO=PF/2=MF,即三角形MFO是等腰三角形.
则,M的横坐标=c/2,
设其纵坐标为y0,则MF^2=(y0)^2 +(c/2 -c)^2=y0^2 +c^2/4;
根据焦半径,MF=a+e·(c/2)
则y0^2 +c^2/4=[a+e·(c/2)]^2
y0^2=a^2+a·c·e+c^2(e^2-1)/4
=a^2+c^2+c^2(e^2-1)/4
=a^2+c^2(e^2+3)/4
代入椭圆方程中得
(c/2)^2/a^2 + [a^2+c^2(e^2+3)/4]/b^2 =1
即e^2/4 + [1+e^2(e^2+3)/4]/[(a^2-c^2)/a^2] =1;
e^2/4 + [1+e^2(e^2+3)/4]/(1-e^2) =1
{注意e=c/a}
由此解得离心率e=√2/2
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