解题思路：（1）对an+1=
2
a
n
a
n
+1
两边求倒数得
1
a
n+1
-1=
1/2]（[1
a
n
-1），由a1=2得出数列{
1
a
n
-1}是首项为-
1/2]，公比为[1/2]的等比数列．写出其通项公式化简可得数列{an}的通项公式；
（2）利用ai（ai-1）=
2
i
(
2
i
−1
)
2
＜
2
i
(
2
i
−1)(
2
i
−2)
=
2
i−1
(
2
i
−1)(
2
i−1
−1)
=
1
2
i−1
−1
-
1
2
i
−1
证出即可．
（Ⅰ）由a1=2，an+1=
2an
an+1得，对n∈N*，an≠0．
从而由an+1=
2an
an+1两边取倒数得，
1
an+1=
1/2]+[1
2an．
即
1
an+1-1=
1/2]（[1
an-1），
∵a1=2，
1
a1-1=-
1/2]．
∴数列{[1
an-1}是首项为-
1/2]，公比为[1/2]的等比数列．
∴[1
an-1=-
1/2]•
1
2n−1=-(−
1
2)n
∴[1
an=1-
1
2n=
2n−1
2n．∴an=
2n
2n−1．
故数列{an}的通项公式是an
点评：
本题考点： 等比关系的确定；数列递推式；不等式的证明．
考点点评： 考查学生对等比关系的判断能力，会利用数列的递推式的能力，以及不等式的证明能力．
1年前
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