（2012•安徽模拟）在数列{an}中，a1＝2，an+1＝4an−3n+1，n∈N*．
1个回答
解题思路：（1）数列{an}中，由
a
1
＝2，
a
n+1
＝4
a
n
−3n+1，n∈
N
*
，知
a
n+1
−(n+1)＝4(
a
n
−n)，n∈
N
*
，a1-1=1，由此能够证明数列{an-n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
（2）由（1）得
b
n
＝
n
a
n
−n
＝
n
4
n−1
，故
S
n
＝1+2×
1
4
+3×
1
4
2
+…+
(n−1)×
1
4
n−2
+n×
1
4
n−1
，由错位相减法能求出
S
n
＝
16
9
(1−
1
4
n
)−
n
3×
4
n−1
，由此能够
S
n
+
b
n
＞
16
9
．
（1）∵数列{an}中，a1＝2，an+1＝4an−3n+1，n∈N*，
∴an+1−(n+1)＝4(an−n)，n∈N*，a1-1=1，
∴数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列，
∴an−n＝1×4n−1，an＝4n−1+n．
（2）由（1）得bn＝
n
an−n＝
n
4n−1，
∴Sn＝1+2×
1
4+3×
1
42+…+(n−1)×
1
4n−2+n×
1
4n−1，
则[1/4Sn＝1×
1
4+2×
1
42+…+(n−1)×
1
4n−1]+n×
1
4n，
相减得[3/4Sn＝(1+
1
4+
1
42+…+
1
4n−1)−n×
1
4n]=[4/3(1−
1
4n)−n×
1
4n]，
∴Sn＝
16
9(1−
1
4n)−
n
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列递推式．
考点点评： 本题考查等比数列的证明和通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和错位相减法的合理运用．
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