. (本小题满分10分)如图，在三棱锥 中， 底面 ，点 ， 分别在棱 上，且
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（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又
，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC. ………3分
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴
，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴
，
∴在Rt△ABC中，
，∴
.
∴在Rt△ADE中，
，
∴
与平面
所成的角的大小
.………8分
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE
平面PAC，PE
平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角
的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴
.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时
，
故存在点E使得二面角
是直二面角. ………12分
【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系
，
设
，由已知可得
.
（Ⅰ）∵
，
∴
，∴BC⊥AP.
又∵
，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. ………3分
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
∴
，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵
，
∴
.
∴
与平面
所成的角的大小
.………8分
（Ⅲ）同解法1.
略
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