解题思路：（1）由BE2=AE•DE可证到△ABE∽△BDE，从而有∠BAE=∠EBC，根据三角形的外角性质可证到∠BIE=∠EBI，就可得到EB=EI．
（2）①连接EC、OB、OC、OE，设OE交BC于F，如图2，易证过点I的
BC
的半径为BE，根据勾股定理可以求出BE、DE的长，再根据BE2=AE•DE就可求出AD的长．②作AG⊥BC于G．如图3，先求出AG、AB，再运用三角函数的定义就可求出sin∠ABC的值；过点I作IK⊥AB于点K，过点I作IH⊥BC于点H，如图4，根据角平分线的性质可得IK=IH，然后运用面积法就可求出IH的长，从而可以求出BH的长，然后将tan∠ABI转化为tan∠CBI就可解决问题．
（1）证明：如图1，
∵BE2=AE•DE，
∴[AE/BE]=[BE/DE]
．
又∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△BDE．
∴∠BAE=∠EBC．
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠DBI．
∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠EBI=∠EBC+∠DBI，
∴∠BIE=∠EBI．
∴EB=EI．
（2）①连接EC、OB、OC、OE，设OE交BC于F，如图2，
∵∠BAE=∠EBC，∠EBC=∠EAC，
∴∠BAE=∠EAC，
∵∠BOE=2∠BAE，∠COE=2∠CAE，
∴∠BOE=∠COE．
∴
BE=
CE．
∴EB=EC．
∴EB=EC=EI．
∴点E是过点I的
BC的圆心，EB是过点I的
BC的半径．
∵OB=OC，∠BOE=∠COE，
∴BF=CF=[1/2]BC=4．
在Rt△OFC中，
∵OC=5，FC=4，
∴OF=3．
∴EF=OE-OF=5-3=2．
∴BE=
BF2+EF2=2
5．
∵∠BDE=45°，∠DFE=90°，
∴∠DEF=90°-45°=45°=∠FDE．
∴DF=EF=2．
∴BD=BF+DF=4+2=6，DE=2
2．
∵AE•DE=BE2，
∴（AD+2
2）×2
点评：
本题考点： 圆的综合题；三角形的外角性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；锐角三角函数的定义．
考点点评： 本题考查了弧与圆心角及弦的关系、圆周角定理、三角函数的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，而运用面积法求出IH的长及将tan∠ABI转化为tan∠CBI是求tan∠ABI值的关键．
