（Ⅰ）由题意 f ′ (x)=
x-a
x 2 ．…（1分）
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，
故 f min (x)=f(a)=ln a 2 ，无最大值． …（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，
故 f min (x)=f(a)=ln a 2 ，无最大值．…（5分）
（Ⅱ）证明：取a=2，由（Ⅰ）可知： f(x)=ln2x-
x-2
x ≥f(2)=2ln2 ，
故
2
x ≥1+ln4-ln2x=ln
2e
x ，∴
1
x ≥
1
2 ln
2e
x ，（x＞0）
取x=1，2，3…，n，则 1+
1
2 +
1
3 +…+
1
n ≥
1
2 ln
(2e) n
n! ．…（10分）
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设其中一个切点T（ x 0 ，ln x 0 -
x 0 -1
x 0 ），
∴切线方程：y+1=
x 0 -1
x 0 2 (x-1) ，将点T坐标代入得：ln x 0 -
x 0 -1
x 0 +1=
( x 0 -1 ) 2
x 0 2 ，
即ln x 0 +
3
x 0 -
2
x 0 2 -1=0 ，…①
设g（x）=lnx+
3
x -
1
x 2 -1 ，则 g ′ (x)=
(x-1)(x-2)
x 3 ．
∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2．+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x） 极大值=g（1）=1＞0，g（x） 极小值=g（2）=ln2+
1
4 ＞0 ．
又 g(
1
3 )=ln
1
3 +9-9-1=-ln3-1＜0 ，（也可以求 g(
1
4 ) 等等）
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在 (
1
3 ，1) 内有且仅有一根
方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…（15分）
